Question

4．若定义在[0，4]上的函数f（x）=-sin（πx）与函数g（x）=x³+bx+c在同一点处有相同的最小值，则b-c的值为0或-49．

Answer 1

分析 根据正弦函数的性质求出f（x）的最小值及对应的x的值，利用导数判断g（x）的单调性，得出g（x）的最小值和对应的x，列出方程组即可得出b，c的值．

解答 解：令πx=$\frac{π}{2}$+2kπ得x=$\frac{1}{2}$+2k，k∈Z．
∴当x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{5}{2}$时，f（x）=-sin（πx）取得最小值-1．
g′（x）=3x²+b，
（1）若b≥0，则g′（x）≥0，
∴g（x）在[0，4]上是增函数，
∴当x=0时g（x）取得最小值，不符合题意；
（2）若b＜0，令g′（x）=0得x=$\sqrt{-\frac{b}{3}}$或x=-$\sqrt{-\frac{b}{3}}$（舍）．
①若$\sqrt{-\frac{b}{3}}$≥4，则g′（x）≤0，
∴g（x）在[0，4]上是减函数，
∴当x=4时g（x）取得最小值，不符合题意；
②若0＜$\sqrt{-\frac{b}{3}}$＜4，即-48＜b＜0时，
∴当0＜x＜$\sqrt{-\frac{b}{3}}$时，g′（x）＜0，当$\sqrt{-\frac{b}{3}}$＜x＜4时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\sqrt{-\frac{b}{3}}$）上单调递减，在（$\sqrt{-\frac{b}{3}}$，4）上单调递增，
∴当x=$\sqrt{-\frac{b}{3}}$时，g（x）取得最小值g（$\sqrt{-\frac{b}{3}}$）=-$\frac{b}{3}$$\sqrt{-\frac{b}{3}}$+b$\sqrt{-\frac{b}{3}}$+c=$\frac{2b}{3}$$\sqrt{-\frac{b}{3}}$+c．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-\frac{b}{3}}=\frac{1}{2}}\\{\frac{2b}{3}\sqrt{-\frac{b}{3}}+c=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-\frac{b}{3}}=\frac{5}{2}}\\{\frac{2b}{3}\sqrt{-\frac{b}{3}}+c=-1}\end{array}\right.$．
解得b=c=-$\frac{3}{4}$或b=-$\frac{75}{4}$，c=$\frac{121}{4}$．
∴b-c=0或b-c=-49．
故答案为：0或-49．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，正弦函数的性质，分类讨论思想，属于中档题．