Question

19．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{aln（x+1），x≥0}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-ax，x＜0}\end{array}\right.$，g（x）=e^x-1．
（1）若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））与点（-1，f（-1））处的切线相互垂直，求a的值；
（2）当a＞0时，讨论函数f（x）与g（x）的图象公共点的个数；
（3）设数列${b_n}={e^{\frac{1}{n}}}（{n∈N{^*}}）$，其前n项和为S_n，证明：S_n＞ln（n+1）+n-1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切点处的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a的值；
（2）由题意可得讨论h（x）=g（x）-f（x）的零点的个数，由h（0）=0，则必有一个零点为0；讨论x＞0，①若0＜a≤1，②若a＞1，当x＜0，判断导数符号，可得单调性，可得零点个数；
（3）由（2）可得e^x＞1+ln（x+1），所以${e^{\frac{1}{n}}}＞1+ln（{1+\frac{1}{n}}）=1+ln（{n+1}）-lnn$，再令n=1，2，…，由累加法和化简整理即可得证．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{aln（x+1），x≥0}\\{\frac{1}{3}{x^3}-ax，x＜0}\end{array}}\right.$，
∴$f'（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a}{x+1}，x≥0}\\{{x^2}-a，x＜0}\end{array}}\right.$，
∴f′（1）=$\frac{a}{2}$，f′（-1）=1-a，
由两直线垂直的条件可得$\frac{a}{2}×（{1-a}）=-1$，
解得a=-1或2；
（2）即讨论h（x）=g（x）-f（x）的零点的个数，
由h（0）=0，则必有一个零点为0；
情况一：当x＞0时，令h（x）=g（x）-f（x）=e^x-aln（x+1）-1，则h′（x）=e^x-$\frac{a}{x+1}$．
①若0＜a≤1，则$\frac{a}{x+1}$＜1＜e^x，即h′（x）=e^x-$\frac{a}{x+1}$＞0，
函数h（x）在（0，+∞）上递增，h（x）在（0，+∞）无零点；
②若a＞1，因为h′（x）=e^x-$\frac{a}{x+1}$在（0，+∞）上递增，
且h'（0）=1-a＜0，x→+∞，h'（x）→+∞，
所以存在x₀∈（0，+∞）使得h'（x₀）=0．
所以h（x）在（0，x₀）上递减，在（x₀，+∞）上递增，
且x→+∞，h（x）→+∞，结合图形可知函数h（x）在（0，x₀]上无零点，
在（x₀，+∞）有一个零点．即h（x）在（0，+∞）有一个零点．
情况二：当x＜0时，令$h（x）=g（x）-f（x）={e^x}-\frac{1}{3}{x^3}+ax-1$，
则h'（x）=e^x-x²+a，又h''（x）=e^x-2x＞0，
所以h'（x）=e^x-x²+a在（-∞，0）上递增，
又h'（0）=1+a＞0，且x→-∞，h'（x）→-∞，
所以存在x₀∈（-∞，0）使得h'（x₀）=0．
所以h（x）在（-∞，x₀）上递减，在（x₀，0）上递增，
且$x→-∞，h（x）=（{{e^x}-1}）-\frac{1}{3}x（{{x^2}-3a}）→+∞$，
结合图形可知函数h（x）在（-∞，x₀）上有一个零点，在[x₀，0）无零点．
即h（x）在（-∞，0）有一个零点．
综上所示：0＜a≤1时，有两个公共点；a＞1时，有三个公共点；
（3）证明：由（2）可知，a=1时，g（x）＞f（x）对x＞0恒成立，
即e^x＞1+ln（x+1），
所以${e^{\frac{1}{n}}}＞1+ln（{1+\frac{1}{n}}）=1+ln（{n+1}）-lnn$，
即${e^{\frac{1}{1}}}＞1+（{ln2-ln1}）$，${e^{\frac{1}{2}}}＞1+（{ln3-ln2}）$，${e^{\frac{1}{3}}}＞1+（{ln4-ln3}）$，…，
${e^{\frac{1}{n-1}}}＞1+lnn-ln（{n-1}）$，${e^{\frac{1}{n}}}＞1+ln（{n+1}）-lnn$，
所以e¹+e${\;}^{\frac{1}{2}}$+…+e${\;}^{\frac{1}{n}}$＞n+ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn
=n+ln（n+1）-ln1=n+ln（n+1）＞ln（n+1）+n-1，
即S_n＞ln（n+1）+n-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查函数的零点个数问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，函数的单调性和图象结合，考查不等式的证明，注意运用已知结论和累加法，以及对数的运算性质，考查化简整理的运算能力，属于难题．