Question

8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱AB的中点，则直线B₁M与BD₁所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，求出向量的坐标，利用向量方法，即可求出直线B₁M与BD₁所成角的余弦值．

解答 解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则M（2，1，0），B₁（2，2，2），B（2，2，0），D₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（0，-1，-2），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），
∴直线B₁M与BD₁所成角的余弦值是|$\frac{2-4}{\sqrt{5}•\sqrt{4+4+4}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查直线B₁M与BD₁所成角的余弦值，考查向量方法的运用，属于中档题．