Question

20．设命题p：关于x的一元二次不等式 ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0的解集为R，命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{15-a}-\frac{{y}^{2}}{a}$=1表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）命题p为真命题，即一元二次不等式 ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0的解集为R，利用判别式求出a的取值范围；（2）求出命题q为真时a的取值范围，利用p或q”为真，“p且q”为假时，p、q一真一假；求出a的取值范围．

解答 解：（1）若命题p为真命题，
即一元二次不等式 ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0的解集为R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4×a×\frac{a}{16}＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞2，
∴实数a的取值范围；a＞2；
（2）命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{15-a}-\frac{{y}^{2}}{a}$=1表示焦点在x轴上的双曲线，
$\left\{\begin{array}{l}{15-a＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜15；
“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，
则p、q一真一假；
p真q假时，满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a≤0或a≥15}\end{array}\right.$，
解得a≥15；
p假q真时，满足$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{0＜a＜15}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤2，
综上，a的取值范围是0＜a≤2或a≥15．

点评 本题考查了命题真假的判断问题，也考查了复合命题的真假性判断问题，是综合性题目．