Question

15．已知P为函数$y=\frac{1}{4}{x^2}$图象上一动点，过点P做x轴的垂线，垂足为B，已知A（3，2），则|PA|+|PB|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}+\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{10}-1$
• C． $2\sqrt{3}+2$
• D． $3\sqrt{5}-2$

Answer 1

分析 根据抛物线方程得到抛物线焦点为F，并且作出它的准线：x=-1，延长PB交准线于点C，连接PF、AF，根据抛物线的定义可得得：|PA|+|PB|=|PA|+|PC|-1=|PA|+|PF|-1．再由三角形两边之和大于第三边可得：P点满足|PA|+|PF|≥|AF|，当且仅当点P落在线段AF上时，|PA|+|PF|=|AF|为最小值，最后根据两点的距离公式得到|PA|+|PF|的最小值，然后求解即可．

解答 解：∵函数$y=\frac{1}{4}{x^2}$，即抛物线方程为x²=4y，
∴抛物线的焦点为F（0，1），准线为y=-1，延长P，B交准线于点C，连接PF、AF，根据抛物线的定义得：|PF|=|PC|
∴|PA|+|PB|=|PA|+|PC|-1=|PA|+|PF|-1，当P点不在AF上时，
有|PA|+|PF|＞|AF|；
当P点刚好落在AF上时，有|PA|+|PF|=|AF|，
∴P点满足|PA|+|PF|≥|AF|，
当且仅当点P落在线段AF上时，|PA|+|PF|=|AF|为最小值，
所以|PA|+|PF|的最小值为$\sqrt{{3}^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
同时|PA|+|PM|的最小值是|PA|+|PC|-1=|PA|+|PF|-1=$\sqrt{10}-1$
故选：B．

点评 本题给出抛物线上一个动点P在y轴上的射影点为M，求点P到B点和A的距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质和两点间的距离公式等知识点，属于中档题．