Question

5．${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$-x³）dx的值为$\frac{9π}{2}$，f（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$（a＞0）在x=x₀处导数为-4，则x₀=±$\frac{a}{2}$．

Answer 1

分析 第一空，根据定积分的几何意义和定积分的计算法则即可求出，第二个空，先求导，再代值计算即可．

解答 解：${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$-x³）dx表示以原点为圆心，以及3为半径的圆的面积的二分之一，
故${∫}_{-3}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx=$\frac{9π}{2}$，
${∫}_{-3}^{3}$x³dx=$\frac{1}{4}{x}^{4}$|${\;}_{-3}^{3}$=0，
故${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$-x³）dx=$\frac{9π}{2}$，
∵f（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$（a＞0），
∴f（x）=-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$，（a＞0），
∴f（x₀）=-$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}^{2}}$=-4，
∴x₀=±$\frac{a}{2}$a，
故答案为：$\frac{9π}{2}$，±$\frac{a}{2}$

点评 本题考查了定积分的几何意义和导数的运算法则，属于基础题．