Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x）如图所示，则$f（{\frac{π}{2}}）$的值为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 求出函数的导函数，利用导函数的周期，求出ω，利用振幅求出A，利用导函数经过（$\frac{3π}{2}$，-2），求出φ，得到函数的解析式，即可得解．

解答 解：函数的导函数f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由图象可知f′（x）的周期为4π．
所以ω=$\frac{1}{2}$．
又因为Aω=2．
所以A=4．
函数经过（$\frac{3π}{2}$，-2），
所以-2=2cos（$\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{2}$+φ），0＜φ＜π，
所以 $\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{2}$+φ=π，即φ=$\frac{π}{4}$．
所以f（x）=4sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
所以f（$\frac{π}{2}$）=4sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=4．
故选：D．

点评 本题主要考查函数的导数与函数的图象的关系，考查计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．