Question

17．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、F、G分别是棱A₁B₁、AB、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：GE⊥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 取AF的中点M，连接DM，得DM⊥CD．以DM，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解．

解答 解：因为AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，
所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形，因为ABCD为等腰梯形，
所以∠BAD=∠ABC=60°，取AF的中点M，
连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD．
以DM，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），$A（\sqrt{3}，-1，0）$，$F（\sqrt{3}，1，0）$C（0，2，0），C₁（0，2，2），$E（\sqrt{3}，1，2）$，$G（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，2）$，$B（\sqrt{3}，3，0）$，
所以$\overrightarrow{CF}=（\sqrt{3}，-1，0）$，$\overrightarrow{C{C_1}}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{F{C_1}}=（-\sqrt{3}，1，2）$．
设平面CC₁F的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CF}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{C{C_1}}=0\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y=0\\ z=0\end{array}\right.$取$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，0）$．
（Ⅰ）证明：GE的方向向量为$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，
∵$\overrightarrow{GE}∥\overrightarrow n$，∴GE⊥平面FCC₁．
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{FB}=（0，2，0）$，设平面BFC₁的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{FB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{F{C_1}}=0\end{array}\right.$
所以$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\-\sqrt{3}{x_1}+{y_1}+2{z_1}=0\end{array}\right.$取$\overrightarrow{n_1}=（2，0，\sqrt{3}）$，
则$\overrightarrow n•\overrightarrow{n_1}=2×1-\sqrt{3}×0+0×\sqrt{3}=2$，$|\overrightarrow n|=\sqrt{1+{{（\sqrt{3}）}^2}}=2$，$|\overrightarrow{n_1}|=\sqrt{{2^2}+0+{{（\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{7}$，
所以$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{n_1}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{n_1}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{n_1}|}}=\frac{2}{{2×\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，由图可知二面角B-FC₁-C为锐角，
所以二面角B-FC₁-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．