Question

8．设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁=2，对任意p、q∈N^*，都有a_p+q=a_p+a_q，则f（n）=$\frac{{S}_{n}+60}{n+1}$（n∈N^*）的最小值为$\frac{29}{2}$．

Answer 1

分析 对任意p、q∈N^*，都有a_p+q=a_p+a_q，令p=n，q=1，可得a_n+1=a_n+a₁，则${a}_{{n}_{+1}}$-a_n=2，利用等差数列的求和公式可得S_n．f（n）=$\frac{{S}_{n}+60}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}+n+60}{n+1}$=n+1+$\frac{60}{n+1}$-1，令g（x）=x+$\frac{60}{x}$（x≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵对任意p、q∈N^*，都有a_p+q=a_p+a_q，令p=n，q=1，可得a_n+1=a_n+a₁，则${a}_{{n}_{+1}}$-a_n=2，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2．
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n+n²．
则f（n）=$\frac{{S}_{n}+60}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}+n+60}{n+1}$=n+1+$\frac{60}{n+1}$-1，
令g（x）=x+$\frac{60}{x}$（x≥1），则g′（x）=1-$\frac{60}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-60}{{x}^{2}}$，可得x∈[1，$\sqrt{60}$时，函数g（x）单调递减；x∈$[\sqrt{60}，+∞）$时，函数g（x）单调递增．
又f（7）=14+$\frac{1}{2}$，f（8）=14+$\frac{2}{3}$．
∴f（7）＜f（8）．
∴f（n）=$\frac{{S}_{n}+60}{n+1}$（n∈N^*）的最小值为$\frac{29}{2}$．
故答案为：$\frac{29}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．