Question

19．若f（x）=sin³x+acos²x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{2}$）
• B． （0，$\frac{3}{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 设t=sinx，由x∈（0，π）和正弦函数的性质求出t的范围，将t代入f（x）后求出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数与函数单调性的关系列出不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解：设t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]，
∵f（x）=sin³x+acos²x=sin³x+a（1-sin²x），
∴f（x）变为：y=t³-at²+a，
则y′=3t²-2at=t（3t-2a），
由y′=0得，t=0或t=$\frac{2a}{3}$，
∵f（x）=sin³x+acos²x在（0，π）上存在最小值，
∴函数y=t³-at²+a在（0，1]上递减或先减后增，
即$\frac{2a}{3}$＞0，得a＞0，
∴实数a的取值范围是（0，+∞），
故选：D．

点评 本题考查正弦函数的性质，导数与函数单调性的关系，以及构造法、换元法的应用，考查化简、变形能力．