Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，AC=AB₁．
（1）证明：AB⊥B₁C；
（2）若∠CAB₁=90°，∠CBB₁=60°，AB=BC=2，求三棱锥B₁-ACB的体积．

Answer 1

分析 （1）连接BC₁，交B₁C于点O，连接AO，由题意可得B₁C⊥BC₁，且O为B₁C和BC₁ 的中点．结合AC=AB₁，可得AO⊥B₁C，再由线面垂直的判定定理可得B₁C⊥平面ABO，进一步得到AB⊥B₁C；
（2）由侧面BB₁C₁C为菱形，且∠CBB₁=60°，可得△BCB₁为等边三角形，求解直角三角形得到BO，再证得AO⊥OB，可得AO⊥平面BCB₁，然后利用等积法求得三棱锥B₁-ACB的体积．

解答 （1）证明：连接BC₁，交B₁C于点O，连接AO，
∵侧面BB₁C₁C为菱形，∴B₁C⊥BC₁，且O为B₁C和BC₁ 的中点．
∵AC=AB₁，∴AO⊥B₁C，又AO∩BC₁=O，
∴B₁C⊥平面ABO，
由于AB?平面ABO，故AB⊥B₁C；
（2）解：∵侧面BB₁C₁C为菱形，且∠CBB₁=60°，
∴△BCB₁为等边三角形，即BC=BB₁=B₁C=2．
在Rt△BOC中，BO=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
∵∠CAB₁=90°，∴△ACB₁为等腰直角三角形，又O为B₁C的中点，
∴AO=OC=1，
在△BOA中，AB=2，OA=1，OB=$\sqrt{3}$，∴OB²+OA²=AB²成立，则AO⊥OB，
又AO⊥CB₁，∴AO⊥平面BCB₁，
∴${V}_{{B}_{1}-ACB}={V}_{A-BC{B}_{1}}=\frac{1}{3}•{S}_{△BC{B}_{1}}•AO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BO×{B}_{1}C×AO=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．