Question

20．给出下列命题：
（1）若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′（$\frac{π}{2}$）=1；
（2）若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2015）（x-2016），则g′（2016）=2015!；
（3）若函数f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$的单调递增区间是（2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$）（k∈Z）
（4）若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充分条件；
其中正确的命题序号为（2）、（3）、（4）．

Answer 1

分析 （1）求出函数h（x）的导数，计算h′（$\frac{π}{2}$）的值即可判断正误；
（2）求出函数g（x）的导数，计算g′（2016）的值即可；
（3）求函数f（x）的导数，得出f′（x）＞0时x的取值范围即可；
（4）判断a+b+c=0时f（x）有极值点即可．

解答 解：对于（1），函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，
∴h′（x）=4cos³x•（-sinx）-4sin³x•cosx，
∴h′（$\frac{π}{2}$）=-4cos³$\frac{π}{2}$•sin$\frac{π}{2}$-4sin³$\frac{π}{2}$cos$\frac{π}{2}$=0，（1）错误；
对于（2），函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2015）（x-2016），
则g′（x）=（x-2）（x-3）…（x-2015）（x-2016）+（x-1）（x-3）…
（x-2015）（x-2016）+…+（x-1）（x-2）…（x-2015），
∴g′（2016）=1×2×3×…×2015=2015!，（2）正确；
对于（3），函数f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$，
∴f′（x）=$\frac{cos（2+cosx）-sinx•（-sinx）}{{（2+cosx）}^{2}}$=$\frac{1+2cosx}{{（2+cosx）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，得cosx＞-$\frac{1}{2}$，
解得2kπ-$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；
∴f（x）的单调递增区间是（2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$）（k∈Z），（3）正确；
对于（4），三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则f′（x）=3ax²+2bx+c，
要使函数f（x）有极值，则△=b²-3ac≥0，
a+b+c=0满足条件，是“f（x）有极值点”的充分条件，（4）正确．
综上，正确的命题序号为（2）、（3）、（4）．
故答案为：（2）、（3）、（4）．

点评 本题考查了命题真假的判断问题，要求熟练掌握判断命题真假的判断方法和相关知识，是综合性题目．