Question

6．某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3-$\frac{2}{x+1}$，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．
（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；
（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer 1

分析 （1）由题目中，每件产品的销售价格为1.5×$\frac{8+16m}{m}$（万元），则利润y=m[1.5×$\frac{8+16m}{m}$]-（8+16m+x），整理即可．
（2）对（1）利润函数y=-[$\frac{16}{x+1}$+（x+1）]+29（x≥0），利用基本不等式求最大值即可．

解答 解：（1）由题意知，每件产品的销售价格为1.5×$\frac{8+16m}{m}$（万元），
∴利润函数y=m[1.5×$\frac{8+16m}{m}$]-（8+16m+x）
=4+8m-x=-[$\frac{16}{x+1}$+（x+1）]+29（x≥0）．
（2）因为利润函数y=-[$\frac{16}{x+1}$+（x+1）]+29（x≥0），
所以，当x≥0时，$\frac{16}{x+1}$+（x+1）≥8，
∴y≤-8+29=21，当且仅当$\frac{16}{x+1}$=x+1，即x=3（万元）时，y_max=21（万元）．
所以，该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．

点评 本题考查了商品利润函数模型的应用，也考查了基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）的灵活运用，是中档题．目．