Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，n∈N．
（1）若函数f（x）=Asin（2x+ϕ）（A＞0，0＜ϕ＜π）在x=$\frac{π}{6}$处取得最大值a₄+1，求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$上的值域．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a_na_n+1=2ⁿ，求出a₂，a₃，a₄，可得A，运用正弦函数的图象和性质，即可得到所求值域；
（2）讨论n为奇数，n为偶数，运用等比数列的通项公式，即可得到所求通项．

解答 解：（1）∵${a_n}{a_{n+1}}={2^n}$，
则${a_{n+1}}{a_{n+2}}={2^{n+1}}$，
相除$\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=2$，
又a₁=1，故${a_1}{a_2}={2^1}⇒{a_2}=2$，
∴a₃=2，a₄=4，
∴A=a₄+1=5，故f（x）=5sin（2x+ϕ）
又$x=\frac{π}{6}$时，f（x）_max=5，
∴$sin（\frac{π}{3}+ϕ）=1$，且0＜ϕ＜π解得：$ϕ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）$，
而$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，故$2x+\frac{π}{6}∈[0，\frac{7π}{6}]$，
从而sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
可得：$f（x）∈[-\frac{5}{2}，5]$；
（2）由（1）得：a₁=1，a₂=2，$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$，
∴当n为奇数时，${a_n}={a_1}×{2^{\frac{n-1}{2}}}={2^{\frac{n-1}{2}}}$，
当n为偶数时，${a_n}={a_2}×{2^{\frac{n-2}{2}}}={2^{\frac{n}{2}}}$，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}，n为奇数}}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，注意运用数列的递推式，考查数列的通项公式的求法，注意运用分类讨论思想方法和等比数列的通项公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．