Question

13．过点P（a，-2）作抛物线C：x²=4y的两条切线，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ） 证明：x₁x₂+y₁y₂为定值；
（Ⅱ） 记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得$x_1^2-2a{x_1}-8=0$，同理可知$x_2^2-2a{x_2}-8=0$．则x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的两个根，则由韦达定理求得x₁x₂，y₁y₂的值，即可求证x₁x₂+y₁y₂为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则k₁k₂=-2，分别求得切线方程，代入即可求证x₁x₂+y₁y₂为定值；
（Ⅱ） 直线PA的垂直平分线方程为$y-\frac{{{y_1}-2}}{2}=-\frac{2}{x_1}（{x-\frac{{{x_1}+a}}{2}}）$，同理求得直线PB的垂直平分线方程，求得M坐标，抛物线C的焦点为F（0，1），则$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{PF}=\frac{{3{a^2}}}{2}-\frac{{3{a^2}}}{2}=0$，
则$\overrightarrow{MF}⊥\overrightarrow{PF}$．则以PM为直径的圆恒过点F．

解答 解：（Ⅰ）证明：法1：由x²=4y，得$y=\frac{1}{4}{x^2}$，所以$y'=\frac{1}{2}x$．所以直线PA的斜率为$\frac{1}{2}{x_1}$．
因为点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）在抛物线C上，所以${y_1}=\frac{1}{4}x_1^2$，${y_2}=\frac{1}{4}x_2^2$．
所以直线PA的方程为$y-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{2}{x_1}（{x-{x_1}}）$．…（1分）
因为点P（a，-2）在直线PA上，
所以$-2-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{2}{x_1}（{a-{x_1}}）$，即$x_1^2-2a{x_1}-8=0$．…（2分）
同理，$x_2^2-2a{x_2}-8=0$．…（3分）
所以x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的两个根．
所以x₁x₂=-8．…（4分）
又${y_1}{y_2}=\frac{1}{4}x_1^2•\frac{1}{4}x_2^2=\frac{1}{16}{（{{x_1}{x_2}}）^2}=4$，…（5分）
所以x₁x₂+y₁y₂=-4为定值．…（6分）
法2：设过点P（a，-2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x-a），…（1分）
$\left\{\begin{array}{l}{y+2=k（x-a）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y得x²-4kx+4ka+8=0，
由△=16k²-4（4ak+8）=0，化简得k²-ak-2=0．…（2分）
所以k₁k₂=-2．…（3分）
由x²=4y，得$y=\frac{1}{4}{x^2}$，所以$y'=\frac{1}{2}x$．
所以直线PA的斜率为${k_1}=\frac{1}{2}{x_1}$，直线PB的斜率为${k_2}=\frac{1}{2}{x_2}$．
所以$\frac{1}{4}{x_1}{x_2}=-2$，即x₁x₂=-8．…（4分）
又${y_1}{y_2}=\frac{1}{4}x_1^2•\frac{1}{4}x_2^2=\frac{1}{16}{（{{x_1}{x_2}}）^2}=4$，…（5分）
所以x₁x₂+y₁y₂=-4为定值．…（6分）
（Ⅱ） 法1：直线PA的垂直平分线方程为$y-\frac{{{y_1}-2}}{2}=-\frac{2}{x_1}（{x-\frac{{{x_1}+a}}{2}}）$，…（7分）
由于${y_1}=\frac{1}{4}x_1^2$，$x_1^2-8=2a{x_1}$，
所以直线PA的垂直平分线方程为$y-\frac{{a{x_1}}}{4}=-\frac{2}{x_1}（{x-\frac{{{x_1}+a}}{2}}）$．①…（8分）
同理直线PB的垂直平分线方程为$y-\frac{{a{x_2}}}{4}=-\frac{2}{x_2}（{x-\frac{{{x_2}+a}}{2}}）$．②…（9分）
由①②解得$x=\frac{3}{2}a$，$y=1+\frac{a^2}{2}$，
所以点$M（{\frac{3}{2}a，1+\frac{a^2}{2}}）$．…（10分）
抛物线C的焦点为F（0，1），则$\overrightarrow{MF}=（{-\frac{3}{2}a，-\frac{a^2}{2}}），\overrightarrow{PF}=（{-a，3}）$．
由于$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{PF}=\frac{{3{a^2}}}{2}-\frac{{3{a^2}}}{2}=0$，…（11分）
所以$\overrightarrow{MF}⊥\overrightarrow{PF}$．
所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）
另法：以PM为直径的圆的方程为$（{x-a}）（{x-\frac{3}{2}a}）+（{y+2}）（{y-1-\frac{a^2}{2}}）=0$．…（11分）
把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．
所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）
法2：设点M的坐标为（m，n），
则△PAB的外接圆方程为（x-m）²+（y-n）²=（m-a）²+（n+2）²，
由于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在该圆上，
则${（{{x_1}-m}）^2}+{（{{y_1}-n}）^2}={（{m-a}）^2}+{（{n+2}）^2}$，${（{{x_2}-m}）^2}+{（{{y_2}-n}）^2}={（{m-a}）^2}+{（{n+2}）^2}$．
两式相减得（x₁-x₂）（x₁+x₂-2m）+（y₁-y₂）（y₁+y₂-2n）=0，①…（7分）
由（Ⅰ）知${x_1}+{x_2}=2a，{x_1}{x_2}=-8，{y_1}=\frac{1}{4}x_1^2，{y_2}=\frac{1}{4}x_2^2$，代入上式得$（{{x_1}-{x_2}}）（{4a-4m+{a^3}+4a-2an}）=0$，…（8分）
当x₁≠x₂时，得8a-4m+a³-2an=0，②
假设以PM为直径的圆恒过点F，则$\overrightarrow{MF}⊥\overrightarrow{PF}$，即（-m，n-1）•（-a，-3）=0，
得ma-3（n-1）=0，③…（9分）
由②③解得$m=\frac{3}{2}a，n=1+\frac{1}{2}{a^2}$，…（10分）
所以点$M（{\frac{3}{2}a，1+\frac{1}{2}{a^2}}）$．…（11分）
当x₁=x₂时，则a=0，点M（0，1）．
所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标公式，韦达定理的应用，考查利用导数求抛物线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．