Question

4．已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC、BD相交于O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3$\sqrt{2}$，得到三棱锥B-ACD．

（1）若M是BC的中点，求证：直线OM∥平面ABD；
（2）求三棱锥B-ACD的体积；
（3）若N是BD上的动点，求当直线CN与平面OBD所成角最大时，二面角N-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，利用三角形中位线定理可得OM∥AB．利用线面平行的判定定理即可证明OM∥平面ABD．
（2）OB=OD=3，BD=3$\sqrt{2}$．利用勾股定理的逆定理可得BO⊥OD，又OD⊥AC，可得OD⊥平面ABC，因此OD=3为三棱锥D-ABC的高，利用三棱锥的体积为V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×OD$即可得出．
（3）N是BD上的动点，当点N为BD的中点时，ON⊥BD，此时，ON取得最小值，连接CN，则CN⊥BD．∠CNO为直线CN与平面OBD所成角，此时取得最大角．可得：∠BON为二面角N-AC-B的平面角即可得出．

解答 （1）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点．
又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（2分）
因为OM?平面ABD，
AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（6分）
（2）解：OB=OD=3，BD=3$\sqrt{2}$．
∴OB²+OD²=BD²．
∴∠BOD=90°．
∴BO⊥OD，又OD⊥AC，AC∩OB=O点，
∴OD⊥平面ABC，
所以OD=3为三棱锥D-ABC的高，
因为菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}×{6}^{2}×sin12{0}^{°}$=9$\sqrt{3}$，
所以所求三棱锥的体积为V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×OD$=$\frac{1}{3}×9\sqrt{3}×3$=9$\sqrt{3}$．
（3）解：N是BD上的动点，当点N为BD的中点时，ON⊥BD，此时，ON取得最小值，
连接CN，则CN⊥BD．∠CNO为直线CN与平面OBD所成角，此时取得最大角．
可得：∠BON为二面角N-AC-B的平面角，可得：∠BON=45°．
∴sin∠BON=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了线面平行与垂直的判定定理及其性质定理、三棱锥体积计算公式、空间角，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．