Question

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{3c-a}{b}$=$\frac{cosA-3cosC}{cosB}$．
（1）求$\frac{sinA}{sinC}$的值；
（2）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）由（1）及正弦定理知$\frac{a}{c}=\frac{1}{3}$，即c=3a．由题意：$\left\{\begin{array}{l}{b=10}\\{a+c＞b}\\{{a}^{2}+{c}^{2}＜{b}^{2}}\end{array}\right.$，解之即可得出．

解答 解：（1）由正弦定理：设$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=k，又$\frac{3c-a}{b}$=$\frac{cosA-3cosC}{cosB}$．
∴$\frac{3sinC-sinA}{sinB}$=$\frac{cosA-3cosC}{cosB}$．
化为：（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
化简得：cosAsinB+sinAcosB=3（sinBcosC+cosBsinC），即sin（A+B）=3sin（B+C），
∴sinC=3sinA，即$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{1}{3}$．
（2）由（1）及正弦定理知$\frac{a}{c}=\frac{1}{3}$，即c=3a．
由题意：$\left\{\begin{array}{l}{b=10}\\{a+c＞b}\\{{a}^{2}+{c}^{2}＜{b}^{2}}\end{array}\right.$，解之得：$\frac{5}{2}＜a＜\sqrt{10}$，
则a的取值范围是$（\frac{5}{2}，\sqrt{10}）$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．