Question

5．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，A₁C=A₁B=BC，B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC
（I）求证：AB₁∥平面A₁C₁C；
（II）求直线BC₁与平面A₁C₁C成角的正弦值的大小．

Answer 1

分析 （I）取BC的中点E，连接AE，C₁E，B₁E．由已知可得四边形CEB₁C₁是平行四边形，B₁E∥C₁C．可得B₁E∥平面A₁C₁C．可得四边形AEC₁A₁是平行四边形，A₁C₁∥AE．于是平面AEB₁∥平面A₁C₁C，即可证明AB₁∥平面A₁C₁C．
（II）四边形ABB₁A₁是正方形，可得A₁A⊥AB．根据AC=AB=1，A₁C=A₁B=BC，可得AC⊥A₁A，AC⊥AB．建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．设平面A₁C₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，设直线BC₁与平面A₁C₁C成角为θ，可得sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}B}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{C}_{1}B}|}$．

解答 （I）证明：取BC的中点E，连接AE，C₁E，B₁E．
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，∴四边形CEB₁C₁是平行四边形，∴B₁E∥C₁C．
∵C₁C?平面A₁C₁C，B₁E?平面A₁C₁C，∴B₁E∥平面A₁C₁C，．
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，∴四边形C₁EBB₁是平行四边形，
∴B₁B∥C₁E，且．B₁B=C₁E，．
∴四边形AEC₁A₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AE．
∵A₁C₁?平面A₁C₁C，AE?平面A₁C₁C，∴AE∥平面A₁C₁C，
又AE∩EB₁=E，∴平面AEB₁∥平面A₁C₁C，又AB₁?平面AEB₁．
∴AB₁∥平面A₁C₁C．
（II）解：∵四边形ABB₁A₁是正方形，∴A₁A⊥AB．
∵AC=AB=1，A₁C=A₁B=BC，
∴AC⊥A₁A，AC⊥AB．
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），C（1，0，0），A₁（0，0，1），C₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），B（0，1，0）．
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-1），
设平面A₁C₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．
设直线BC₁与平面A₁C₁C成角为θ，
则sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}B}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{C}_{1}B}|}$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了空间线面面面平行垂直的判定与性质定理、空间角、平行四边形与正方形的判定与性质定理、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．