Question

6．等比数列$\left\{{a_n}\right\}满足：{a_1}=b-1（b＞0且b≠1），{S_2}={b^2}-1$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当b=2时，记${b_n}=\frac{n+1}{{4{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出a₂，进一步得到公比，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入${b_n}=\frac{n+1}{{4{a_n}}}$，利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵a₁=b-1，${S}_{2}={b}^{2}-1$，
∴${a}_{1}+{a}_{2}=b-1+{a}_{2}={b}^{2}-1$，则${a}_{2}={b}^{2}-b$，
又数列{a_n}是等比数列，∴公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{{b}^{2}-b}{b-1}=b$．
∴${a}_{n}=（b-1）•{b}^{n-1}$；
（2）当b=2时，${a}_{n}={2}^{n-1}$，
则${b_n}=\frac{n+1}{{4{a_n}}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{4}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}+\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
则$\frac{{T}_{n}}{2}=\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}+\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
两式作差可得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+（\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}）-\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$．
∴${T}_{n}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．