Question

19．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC=2b-$\sqrt{3}$c．
（1）求角A；
（2）若B=$\frac{π}{6}$，且BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$，求此时△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，由条件利用正弦定理可得2cosAsinC=$\sqrt{3}$sinC，化简可得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此求得A的值．
（2）设等腰三角形腰长为x，即AC=BC=x，CM=$\frac{1}{2}$x，在三角形ACM中，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）△ABC中，∵2acosC=2b-$\sqrt{3}$c．
∴由正弦定理得：2sinB-$\sqrt{3}$sinC=2sinAcosC，------（2分）
∵2sinB=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴化简可得：2cosAsinC=$\sqrt{3}$sinC，---------（4分）
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{6}$．---------（6分）
（2）设等腰三角形腰长为x，即AC=BC=x，CM=$\frac{1}{2}$x，
在△ACM中，由余弦定理得：AM²=AC²+CM²-2AC•CM•cosC，即7=x²+$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x²，
解得：x=2，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\sqrt{3}$．---------（12分）

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．