Question

4．已知二次函数f（x）=ax²+x+1，a∈R，a≠0）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为$（-\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$，求实数a的值；
（2）当a∈[-2，0]时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围；
（3）对x∈[0，2]时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题设方程ax²+x+1=0的两个根是$-\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$，且a＜0；代入方程求解即可．
（2）当a∈[-2，0）时，不等式x²•a+x+1＞0恒成立，设g（a）=x²•a+x+1，a∈[-2，0）；通过$\left\{\begin{array}{l}g（-2）＞0\\ g（0）＞0\end{array}\right.$，求解实数x的范围．
（3）对x∈[0，2]恒有f（x）＞0，即ax²+x+1＞0，变形为ax²＞-（x+1），当x=0时，x≠0的情况，$a＞\frac{-（x+1）}{x^2}$即$a＞-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$．要满足题意只要保证a比右边的最大值大．现求$-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，在x∈（0，2]上的最大值．利用二次函数的最值求解即可．

解答 解（1）由题设知，方程ax²+x+1=0的两个根是$-\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$，且a＜0；
所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{9}-\frac{1}{3}+1=0\\ \frac{a}{4}+\frac{1}{2}+1=0\end{array}\right.$，解得a=-6；------（4分）
（2）由题意可知，当a∈[-2，0）时，不等式x²•a+x+1＞0恒成立，
设g（a）=x²•a+x+1，a∈[-2，0）；
所以$\left\{\begin{array}{l}g（-2）＞0\\ g（0）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-2{x^2}+x-1＞0\\ x+1＞0\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{2}＜x＜1$；-----（9分）
故实数x的范围是$-\frac{1}{2}＜x＜1$；--------（10分）
（3）对x∈[0，2]恒有f（x）＞0，即ax²+x+1＞0，变形为ax²＞-（x+1）
当x=0时对任意的a都满足f（x）＞0，
只须考虑x≠0的情况，$a＞\frac{-（x+1）}{x^2}$即$a＞-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$．
要满足题意只要保证a比右边的最大值大．
现求$-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，在x∈（0，2]上的最大值．
令$t=\frac{1}{x}∴t≥\frac{1}{2}$，$g（t）=-{t^2}-t=-{（t+\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}$（$t≥\frac{1}{2}$），
$g{（t）_{max}}=g（\frac{1}{2}）=-\frac{3}{4}$，
所以$a＞-\frac{3}{4}$
又f（x）=ax²+x+1是二次函数，
∴a≠0
所以$a＞-\frac{3}{4}$且a≠0．-------（16分）
注：过程是运用二次函数根与系数关系讨论的，根据情况适当给分．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．