Question

12．设数列{a_n}，a₁=7，a₂=3，a_n+1=3a_n-2，n≥2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$数列{c_n}满足c_n=log₃b_n，求数列{c_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n-2，n≥2．可得a_n+1-1=3（a_n-1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$，可得b₁=3，b_n=3^n-2．数列{c_n}满足c_n=log₃b_n，c₁=1，n≥2时，c_n=n-2．c_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{（n-2）•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=3a_n-2，n≥2．可得a_n+1-1=3（a_n-1），
∴数列{a_n-1}是首项为2，3为公比的等比数列，
∴a_n-1=2×3^n-2+1，
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{7，n=1}\\{2×{3}^{n-2}+1，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$，可得b₁=3，b_n=3^n-2．
数列{c_n}满足c_n=log₃b_n，
∴c₁=1，n≥2时，c_n=n-2．
∴c_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{（n-2）•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴数列{c_nb_n}的前n项和T_n=3+0+1×3¹+2×3²+…+（n-3）•3^n-3+（n-2）•3^n-2．①
3T_n=3²+0+1×3²+2×3³+…+（n-3）•3^n-2+（n-2）•3^n-1．②
①-②：-2T_n=-6+0+3+3²+3³+…+3^n-2-（n-2）•3^n-1=-6+$\frac{3（{3}^{n-2}-1）}{3-1}$-（n-2）•3^n-1，
∴T_n=$\frac{2n-5}{4}×{3}^{n-1}$+$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了数列递推关系、对数运算性质、等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．