Question

1．已知函数f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$．
（1）求$f（{log_{\sqrt{2}}}3）$；
（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，将x=$lo{g}_{\sqrt{2}}3$=2log₂3代入可得答案；
（2）设0＜x₁＜x₂，作差判断f（x₁），f（x₂）的大小，进而可得结论．

解答 解：（1）∵$lo{g}_{\sqrt{2}}3$=2log₂3，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$．
∴$f（{log_{\sqrt{2}}}3）$=$\frac{{{2}^{2lo{g}_{2}3}}^{\;}}{{（2}^{2}）^{2lo{g}_{2}3}+1}$=$\frac{9}{82}$；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，
则${4}^{{x}_{1}}+1＞0$，${4}^{{x}_{2}}+1＞0$，${2}^{{x}_{2}}•{2}^{{x}_{1}}-1＞0$，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，
∴$f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）=\frac{{2}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+1}-\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}（{4}^{{x}_{1}}+1）-{2}^{{x}_{1}}（{4}^{{x}_{2}}+1）}{（{4}^{{x}_{2}}+1）（{4}^{{x}_{1}}+1）}$
=$\frac{{2}^{{x}_{2}}•{4}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{1}}•{4}^{{x}_{2}}+{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{2}}+1）（{4}^{{x}_{1}}+1）}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}•{2}^{{2x}_{1}}-{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{2x}_{2}}+{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{2}}+1）（{4}^{{x}_{1}}+1）}$
=$\frac{{-（2}^{{x}_{2}}•{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{4}^{{x}_{2}}+1）（{4}^{{x}_{1}}+1）}$＜0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数求值，指数函数的图象和性质，难度中档．