Question

10．函数y=lg（3-4x+x²）的定义域为M，x∈M时，求f（x）=2^x+2-3×4^x的值域．

Answer 1

分析 由题意可得M=（-∞，1）∪（3．+∞）；利用换元法和数形结合求函数的值域．

解答 解：由3-4x+x²＞0得，
x＞3或x＜1；
则M=（-∞，1）∪（3．+∞）；
又f（x）=2^x+2-3•4^x，
令t=2^x，则0＜t＜2或t＞8．
故y=g（t）=-3t²+4t，
作其函数图象如下，
 
由图象知，g（2）≤g（t）≤g（$\frac{2}{3}$）或g（t）＜g（8）；
即-4≤g（t）≤$\frac{4}{3}$，或g（t）＜-160；
故函数f（x）的值域为（-∞，-160）∪（-4，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．