Question

2．数列{a_n}中，${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}={3^n}-1$，则${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+…+{a_n}^2$等于（　　）

• A． 9ⁿ-1
• B． （3ⁿ-1）²
• C． $\frac{1}{2}（{{9^n}-1}）$
• D． $\frac{3}{4}（{{3^n}-1}）$

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列．进一步得到数列$\left\{{{a_n}^2}\right\}$是首项为4，公比为9的等比数列．再由等比数列的前n项和求解．

解答 解：∵${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}={3^n}-1$，n∈N*，
∴则 n=1时，有${a_1}={3^1}-1=2$，
当n≥2时，${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_{n-1}}={3^{n-1}}-1$，
两式相减得，${a_n}={3^n}-{3^{n-1}}=2•{3^{n-1}}$，n≥2，
又n=1时，a₁=2适合上式，
∴${a_n}=2•{3^{n-1}}$，则$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2•{3}^{n}}{2•{3}^{n-1}}=3$．
故数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列．
则数列$\left\{{{a_n}^2}\right\}$是首项为4，公比为9的等比数列．
因此${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+…+{a_n}^2=\frac{{4（{1-{9^n}}）}}{1-9}=\frac{1}{2}（{{9^n}-1}）$．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．