Question

11．已知函数$f（x）=\frac{2}{3}{x^3}+a{x^2}-（a-b）x+c$的两个极值点分别为x₁，x₂，且x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，0），点P（a，b）表示的平面区域为D，若函数y=log_m（x+2）（m＞0，m≠1）的图象经过区域D，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （3，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． （1，3）
• D． （1，3]

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用函数的极值以及函数的零点列出约束条件，利用线性规划通过目标函数的最优解，求解m的范围．

解答 解：由f'（x）=2x²+2ax-（a-b），故f'（x）=0的两根分别为x₁，x₂，
由二次方程根的分布得$\left\{\begin{array}{l}4{a^2}+8（a-b）＞0\\ f'（-1）＜0，\;\\ f'（0）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}b＜\frac{a^2}{2}+a\\ 3a-b-2＞0\\ a-b＜0\end{array}\right.$画出该不等式组所表示的平面区域D，
当函数y=log_m（x+2）的图象经过点（1，1）时，m=3，
因此当1＜m＜3时函数图象经过区域D，
故选：C．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及线性规划的应用，考查转化思想以及计算能力．