Question

1．在四棱锥P-ABCD中，E为棱AD的中点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC=90°，ED=BC=2，EB=3，F为棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若二面角F-BE-C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BE于点M，连接FM，证明FM是△PAC的中位线，得出PA∥FM，证明PA∥面BEF；
（Ⅱ）证明PE⊥平面ABCD，PE⊥BE，PE⊥ED，以E为坐标原点，EB、ED、EP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设PE=m，表示出$\overrightarrow{EB}$、$\overrightarrow{EF}$，求出平面BEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$，取平面ABCD的一个法向量$\overrightarrow{a}$，利用cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{a}$＞是二面角的余弦值，求出直线PB与平面ABCD所成角的正切值．

解答 解：（Ⅰ） 证明：连接AC交BE于点M，连接FM，
∵AD∥BC，且BC=AE，∴AM=MC，
又PF=FC，∴线段FM是△PAC的中位线，
∴FM∥AP，
∵FM?面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF；
（Ⅱ）∵AD∥BC，ED=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，∴四边形BCDE是矩形，∴AD⊥BE；
又PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，PE⊥ED；
以E为坐标原点，EB，ED，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
设PE=m，则E（0，0，0），B（3，0，0），P（0，0，m），
C（3，2，0），F（$\frac{3}{2}$，1，$\frac{m}{2}$），
∴$\overrightarrow{EB}$=（3，0，0），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{3}{2}$，1，$\frac{m}{2}$）；
设平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{3x=0}\\{\frac{3}{2}x+y+\frac{m}{2}z=0}\end{array}\right.$；
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\frac{1}{2}$m，1），
取平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow{a}$=（0，0，1）；
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{n}|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{（-\frac{1}{2}m）}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+1}}$，
由二面角F-BE-C为60°，得$\frac{1}{\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得m=2$\sqrt{3}$；
∵PE⊥平面ABCD，
∴∠PBE就是直线PB与平面ABCD所成角，
在Rt△PBE中，tan∠PBE=$\frac{PE}{BE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间中直线与平面的位置关系以及线面角、二面角的计算问题，是综合性题目．