Question

9．如图，在菱形ABCD中，M为AC与BD的交点，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=3，将△CBD沿BD折起到△C₁BD的位置，若点A，B，D，C₁都在球O的球面上，且球O的表面积为16π，则直线C₁M与平面ABD所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 求出球半径为，根据图形找出直线C₁M与平面ABD所成角，解三角形即可．

解答 解：如图所示，设O为球心，E、F分别为△ABD、△C₁BD的外接圆圆心，
则有OE⊥面ABD，OF⊥面C₁BD，
∵菱形ABCD中，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=3
∴△ABD、△C₁BD为等边△，故E、F分别为△ABD、△C₁BD的中心．
∵球O的表面积为16π，∴球半径为2．
在直角△AOM中，OA=2，AE=$\frac{2}{3}AM=\sqrt{3}$，⇒QE=1．
tan∠OME=$\frac{OE}{EM}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∵C1M⊥DB，AM⊥DB，∴DB⊥面AMC₁，
∴∠C₁MA（或其补角）就是直线C₁M与平面ABD所成角．
∠C₁MA=2∠OME，tan∠C₁MA=tan（2∠OME）=$\frac{2×\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{4}{3}}=-4\sqrt{3}$，
sin∠C₁MA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
直线C₁M与平面ABD所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了棱锥与外接球的关系，找出线面角是解题关键．属于中档题．