Question

14．已知圆O：x²+y²=4，点A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），以线段AP为直径的圆C₁内切于圆O，记点P的轨迹为C₂．
（1）证明|AP|+|BP|为定值，并求C₂的方程；
（2）过点O的一条直线交圆O于M，N两点，点D（-2，0），直线DM，DN与C₂的另一个交点分别为S，T，记△DMN，△DST的面积分别为S₁，S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AP的中点为E，切点为F，连OE，EF，则|OE|+|EF|=|OF|=2．说明点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解动点P的轨迹方程．
（2）求出$\frac{{y}_{M}}{{y}_{S}}$=$\frac{4+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，$\frac{{y}_{N}}{{y}_{t}}$=$\frac{4{m}^{2}+1}{{m}^{2}+1}$，利用$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{y}_{M}}{{y}_{S}}$•$\frac{{y}_{N}}{{y}_{t}}$，可得结论．

解答 （1）证明：设AP的中点为E，切点为F，连OE，EF，则|OE|+|EF|=|OF|=2，
故|BP|+|AP|=2（|OE|+|EF|）=4．
所以点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，则动点P的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1
（2）解：设直线DM的方程为x=my-2（m≠0），
∵MN为圆O的直径，∴∠MDN=90°，
∴直线DN的方程为x=-$\frac{1}{m}$y-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+m²）y²-4my=0，∴y_M=$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（4+m²）y²-4my=0，∴y_S=$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$，
∴$\frac{{y}_{M}}{{y}_{S}}$=$\frac{4+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，∴$\frac{{y}_{N}}{{y}_{t}}$=$\frac{4{m}^{2}+1}{{m}^{2}+1}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{y}_{M}}{{y}_{S}}$•$\frac{{y}_{N}}{{y}_{t}}$=$\frac{4+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$•$\frac{4{m}^{2}+1}{{m}^{2}+1}$，
设s=1+m²，s＞1，0＜$\frac{3}{s}$＜3，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（4-$\frac{3}{s}$）（1+$\frac{3}{s}$）∈（4，$\frac{25}{4}$）．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．