Question

6．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|的定义域为实数集R．
（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；
（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x-4|的解集为A，B={x∈R|2x-1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x-2|＞9，
故有 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-5}\\{-x-5+2-x＞9}\end{array}\right.$ ①；或 $\left\{\begin{array}{l}{-5≤x≤2}\\{x+5+2-x＞9}\end{array}\right.$②；或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x+5+x-2＞9}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．
综上可得，原不等式的解集为{x|x＜-6，或 x＞3}．
（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x-2|≤|x-4|的解集为A，
B={x∈R|2x-1|≤3}={x|-1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|-1+a|+3≤|-1-4|}\\{|2+a|+0≤|2-4|}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤3}\\{-4≤a≤0}\end{array}\right.$，求得-1≤a≤0，
故实数a的范围为[-1，0]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题．