Question

17．已知a₁，x，y，a₂成等差数列，b₁，x，y，b₂成等比数列．则$\frac{{{{（{{a_1}+{a_2}}）}^2}}}{{{b_1}{b_2}}}-2$的取值范围是（　　）

• A． （0，2]
• B． [-2，0）∪（0，2]
• C． （-∞，-2]∪[2，+∞）
• D． （-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 首先根据等比中项和等差中项得出a₁+a₂=x+y和b₁b₂=xy，再由均值不等式，讨论xy＞0，xy＜0即可得出结果．

解答 解：∵a₁、x、y、a₂成等差数列，∴a₁+a₂=x+y，
∵b₁、x、y、b₂成等比数列，∴b₁b₂=xy，
则$\frac{{{{（{{a_1}+{a_2}}）}^2}}}{{{b_1}{b_2}}}-2$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$-2=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$．
若xy＞0，则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$≥$\frac{2xy}{xy}$=2；
若xy＜0，则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≤-2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=-2．
故$\frac{{{{（{{a_1}+{a_2}}）}^2}}}{{{b_1}{b_2}}}-2$的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故选：C．

点评 此题考查了等比数列的性质和等差数列的性质，以及均值不等式的运用，考查讨论思想和运算能力，属于中档题．