Question

8．若$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{f（x-5），x＞0}\\{{2^x}+\int_0^{\frac{π}{6}}{cos3tdt，x≤0}}\end{array}}\right.$，则f（2017）=（　　）

• A． $\frac{1}{24}$
• B． $\frac{11}{24}$
• C． $\frac{5}{6}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据函数的周期性可得f（2017）=f（-3），再根据定积分计算即可

解答 解：当x＞0时，f（x）=f（x-5），
∴函数f（x）为周期函数，其周期为5，
∴f（2017）=f（404×5-3）=f（-3），
∴f（-3）=2^-3+${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cos3tdt=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{3}$sin3t|${\;}_{0}^{\frac{π}{6}}$=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{11}{24}$，
故选：B．

点评 本题考查了分段函数的周期性以及定积分的计算，属于基础题．