Question

11．数列{a_n}满足a₁=3，S_n=na_n-n（n-1）
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S_n，与a_n的关系，推出数列{a_n}为等差数列，然后求解通项公式．
（Ⅱ）化简b_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用裂项求和求解数列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）a₁=3，S_n=na_n-n（n-1）
则．S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），（n≥2）…（2分）
两式相减得a_n-a_n-1=2，（n≥2），数列{a_n}为等差数列，…（4分）
所以a_n=2n+1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，…..（8分）
所以数列{b_n}前n项和为b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$=$\frac{n}{6n+9}$…..（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．