Question

13．已知2^x≤16且${log_2}x≥\frac{1}{2}$，求函数$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$的值域．

Answer 1

分析 先求出$\frac{1}{2}$≤log₂x≤2，再根据二次函数即可得到结论．

解答 解：由2^x≤16得x≤4，log₂x≤2，
即$\frac{1}{2}$≤log₂x≤2，
$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$=（log₂x-1）（log₂x-2）=（log₂x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
当${log_2}x=\frac{3}{2}$，$f{（x）_{min}}=-\frac{1}{4}$，当${log_2}x=\frac{1}{2}$，$f{（x）_{max}}=\frac{3}{4}$，
故f（x）的取值范围为$[-\frac{1}{4}，\frac{3}{4}]$．

点评 本题主要考查函数值域的计算，根据二次函数是解决本题的关键．