Question

8．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{7}cosα\\ y=\sqrt{7}sinα\end{array}\right.$（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=8cosθ，直线l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{3}（ρ∈R）$．
（Ⅰ）求曲线C₁的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与C₁，C₂在第一象限分别交于A，B两点，P为C₂上的动点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用参数方程与普通方程转化，求得C₁的普通方程，将l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{3}（ρ∈R）$转化成曲线C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）由C₂的直角坐标方程为（x-4）²+y²=16，求得ρ₁²-2ρ₁-3=0，代入求得ρ₁，ρ₂，求得丨AB丨，AB为底边的△PAB的高的最大值为4+2$\sqrt{3}$．利用三角形的面积公式，即可求得△PAB面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）依题意得，曲线C₁的普通方程为（x-2）²+y²=7，
曲线C₁的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-3=0，（3分）
直线l的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}$x．（5分）
（Ⅱ）曲线C₂的直角坐标方程为（x-4）²+y²=16，由题意设A（ρ₁，$\frac{π}{3}$），B（ρ₂，$\frac{π}{3}$），
则ρ₁²-4ρ₁cosθ-3=0，即ρ₁²-2ρ₁-3=0，得ρ₁=3或ρ₁=-1（舍），
ρ₂=8cos$\frac{π}{3}$=4，则丨AB丨=丨ρ₁-ρ₂丨=1，（7分）
C₂（4，0）到l的距离为d=$\frac{丨4\sqrt{3}丨}{\sqrt{4}}$=2$\sqrt{3}$．
以AB为底边的△PAB的高的最大值为4+2$\sqrt{3}$．
则△PAB的面积的最大值为$\frac{1}{2}$×1×（4+2$\sqrt{3}$）=2+$\sqrt{3}$．（10分）

点评 本题考查学生对直角坐标方程、参数方程、极坐标方程之间的相互转化，利用极坐标方程求解弦长问题，三角形最值问题，通过直角坐标方程、参数方程、极坐标方程之间的互化考查化归与转化、数形结合的思想．