Question

19．如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…a_m（m为正整数）满足a₁=a_m，a₂=a_m-1，…a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2…，m），那么我们称其为对称数列．
（1）设数列{b_n}是项数为7的对称数列，其中b₁，b₂，b₃，b₄为等差数列，且b₁=2，b₄=11，依次写出数列{b_n}的各项；
（2）设数列{c_n}是项数为2k-1（正整数k＞1）的对称数列，其中c_k，c_k+1，…，c_2k-1是首项为50，公差为-4的等差数列．记数列{c_n}的各项和为数列S_2k-1，当k为何值时，S_2k-1取得最大值？并求出此最大值；
（3）对于确定的正整数m＞1，写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中连续的项．当m＞1500时，求其中一个数列的前2015项和S₂₀₁₅．

Answer 1

分析 （1）设数列{b_n}的公差为d，则b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d，即可得出；
（2）利用等差数列的求和公式可求得c_k+c_k+1+…+c_2k-1=-2k²+52k，从而可得S_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k=-4（k-13）²+4×13²-50，从而可得答案；
（3）依题意，可写出所有项数不超过2m的“对称数列”，依次求得每个“对称数列”前2008项的和即可．

解答 解：（1）设数列{b_n}的公差为d，则b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴数列{b_n}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）∵c_k，c_k+1，…，c_2k-1是首项为50，公差为-4的等差数列，
∴c_k+c_k+1+…+c_2k-1=50k+$\frac{k（k-1）}{2}$•（-4）=-2（k²-k）+50k，
∴S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1
=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k
=-4（k²-k）+100k-50
=-4（k-13）²+4×13²-50，
∴当k=13时，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值为626；
（3）所有可能的“对称数列”是：
①1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1；
②1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1；
③2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1；
④2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1，1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1．
对于①，当m≥2015时，S₂₀₁₅=1+2+2²+…+2²⁰¹⁴=2²⁰¹⁵-1；
当1500＜m≤2014时，S₂₀₁₅=1+2+2²+…+2^m-2+2^m-1+2^m-2+…+2^2m-2016
=2^m-1+2^m-1-2^2m-2016=2^m+2^m-1-2^2m-2016-1．
对于②，当m≥2015时，S₂₀₁₅=2²⁰¹⁵-1．
当1500＜m≤2014时，S₂₀₁₅=2^m+1-2^2m-2015-1．
对于③，当m≥2015时，S₂₀₁₅=2^m-2^m-2015．
当1500＜m≤2014时，S₂₀₁₅=2^m+2^2016-m-3．
对于④，当m≥2015时，S₂₀₁₅=2^m-2^m-2015．
当1500＜m≤2014时，S₂₀₁₅=2^m+2^2015-m-2．

点评 本题考查数列的求和，突出考查等差数列的求和公式，考查抽象思维与逻辑思维、综合分析与运算能力，属于难题．