Question

14．定义2×2矩阵$[\begin{array}{l}{a_1}\\{a_3}\end{array}\right.\left.\begin{array}{l}{a_2}\\{a_4}\end{array}]={a_1}{a_4}-{a_2}{a_3}$，若$f（x）=[{\begin{array}{l}{cosx-sinx}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{π}{2}+2x）}&{cosx+sinx}\end{array}}]$，则f（x）（　　）

• A． .图象关于（π，0）中心对称
• B． 图象关于直线$x=\frac{π}{2}$对称
• C． 在区间$[-\frac{π}{6}，0]$上单调递增
• D． 周期为π的奇函数

Answer 1

分析 利用二倍角和辅助角公式化简函数的解析式，进而分析出函数的奇偶性，单调性，对称性，可得答案．

解答 解：∵$f（x）=[{\begin{array}{l}{cosx-sinx}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{π}{2}+2x）}&{cosx+sinx}\end{array}}]$=$（cosx-sinx）（cosx+sinx）-\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}+2x）$=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
当x=π时，f（x）=1，故（π，0）不是函数图象的对称中心，故A错误；
当$x=\frac{π}{2}$时，f（x）=-1，不取最值，故$x=\frac{π}{2}$不是函数图象的对称轴，故B错误；
当x$[-\frac{π}{6}，0]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$，故f（x）此时为增函数，故C正确；
f（x）是周期为π的非奇非偶函数，故D错误；
故选：C

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的奇偶性，单调性，对称性，是解答的关键．