Question

4．若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=4，S₄=10，则数列$\left\{{\frac{1}{{\;{a_n}{a_{n+1}}\;}}}\right\}$的前2018项的和为$\frac{2018}{2019}$．

Answer 1

分析 由已知列式求出等差数列的首项和公差，得到等差数列的通项公式，代入$\left\{{\frac{1}{{\;{a_n}{a_{n+1}}\;}}}\right\}$，利用裂项相消法求和．

解答 解：由a₄=4，S₄=10，得$\left\{\begin{array}{l}{a_4}={a_1}+3d=4\\{S_4}=4{a_1}+\frac{4×3}{2}d=10\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=1\end{array}\right.$，
∴a_n=n，
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
则数列$\left\{{\frac{1}{{\;{a_n}{a_{n+1}}\;}}}\right\}$的前2018项的和为$（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}}）+（{\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}}）=1-\frac{1}{2019}=\frac{2018}{2019}$．
故答案为：$\frac{2018}{2019}$．

点评 本题考查裂项相消法求数列的前n项和，考查等差数列通项公式的求法，是中档题．