Question

13．已知函数$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{（x+a）^2}$．
（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数f'（x）=e^x-x-a，利用切线的斜率求解a，得到f'（x）=e^x-x，记g（x）=e^x-x，利用g（x）_min=g（0）=1＞0，推出f'（x）＞0恒成立，然后求解f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
（2）利用f'（x）=e^x-x-a，令g（x）=e^x-x-a，求出g'（x）=e^x-1，当x≥0时，g'（x）≥0，求出g（x）_min=g（0）=1-a．i）当1-a≥0即a≤1时，求出f（x）在[0，+∞）上单增，求解最小值大于等于0．求出a的范围．
ii）当1-a＜0即a＞1时，g（x）在[0，+∞）上单增，且g（0）=1-a＜0，当1＜a＜e²-2时，说明?x₀∈（0，ln（a+2））使g（x₀）=0，当x∈（0，x₀）时，当x∈（x₀，+∞）时，判断单调性求解最值，记t（x）=e^x-x，x∈（0，ln2]，推出t（x）在（0，ln2]上单调递增，然后求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵f'（x）=e^x-x-a，∴f'（0）=1-a=1，∴a=0，
∴f'（x）=e^x-x，记g（x）=e^x-x，∴g'（x）=e^x-1，
当x＜0时，g'（x）＜0，g（x）单减；
当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）单增，
∴g（x）_min=g（0）=1＞0，
故f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增． …（4分）
（2）∵f'（x）=e^x-x-a，令g（x）=e^x-x-a，∴g'（x）=e^x-1，
当x≥0时，g'（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增，∴g（x）_min=g（0）=1-a．
i）当1-a≥0即a≤1时，g（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单增，
∴$f{（x）_{min}}=f（0）=1-\frac{a^2}{2}≥0⇒-\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}$，所以$-\sqrt{2}≤a≤1$．
ii）当1-a＜0即a＞1时，∵g（x）在[0，+∞）上单增，且g（0）=1-a＜0，
当1＜a＜e²-2时，g（ln（a+2））=2-ln（a+2）＞0，
∴?x₀∈（0，ln（a+2））使g（x₀）=0，即${e^{x_0}}={x_0}+a$．
当x∈（0，x₀）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）单减；
当x∈（x₀，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）单增．
∴$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{（{x_0}+a）^2}={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{e^{2{x_0}}}={e^{x_0}}（{1-\frac{1}{2}{e^{x_0}}}）≥0$，
∴${e^{x_0}}≤2⇒0＜{x_0}≤ln2$，由${e^{x_0}}={x_0}+a$，∴$a={e^{x_0}}-{x_0}$．
记t（x）=e^x-x，x∈（0，ln2]，
∴t'（x）=e^x-1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，
∴t（x）≤t（ln2）=2-ln2，∴1＜a≤2-ln2．
综上，$a∈[-\sqrt{2}，\;\;2-ln2]$．    …（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想构造法以及多次导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的关系，难度大．