Question

8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAB=90°，AC=AB=AA₁，则异面直线AC₁，A₁B所成角的余弦值为（　　）

• A． $-\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC₁，A₁B所成角的余弦值．

解答 解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAB=90°，
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=AB=AA₁=1，
则A（0，0，0），C₁（0，1，1），A₁（0，0，1），B（1，0，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，-1），
设异面直线AC₁，A₁B所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}B}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{A}_{1}B}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴异面直线AC₁，A₁B所成角的余弦值为$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．