Question

17．设函数$f（x）=\sqrt{ln（x+1）+2x-a}$（a∈R）．若存在x₀∈[0，1]使得f（f（x₀））=x₀，则a的取值范围是[-1，2+ln2]．

Answer 1

分析 由f（f（x₀））=x₀得f^-1（x₀）=f（x₀），
根据f（x）与f^-1（x）的对称关系可得f（x₀）=x₀，
于是f（x₀）∈[0，1]，分离参数得到a的范围．

解答 解：∵f（f（x₀））=x₀，
∴f^-1（x₀）=f（x₀），
∵f^-1（x）和f（x）关于直线y=x对称，
∴f（x₀）=x₀，
∵x₀∈[0，1]，
∴0≤$\sqrt{ln{（x}_{0}+1）+{2x}_{0}-a}$≤1，
即0≤ln（x₀+1）+2x₀-a≤1．
∴-[ln（x₀+1）+2x₀]≤-a≤1-[ln（x₀+1）+2x₀]
∴[ln（x₀+1）+2x₀]-1≤a≤ln（x₀+1）+2x₀]
∵存在x₀∈[0，1]使f（f（x₀））=x₀，
∴-1≤a≤2+ln2．
故答案为：[-1，2+ln2]．

点评 本题考查了反函数的性质以及函数最值的应用问题，是较难的题目．