Question

7．设函数f（x）=lg（$\frac{2}{x+1}$-1）的定义域为集合A，函数g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域为集合B
（Ⅰ）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值；
（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义和对数的运算性质可得函数为奇函数，根据奇函数的性质可得．
（Ⅱ）由对数式的真数大于0求解集合A，求出二次函数g（x）在[0，3]上的值域，即集合B，根据A∩B=∅，利用两集合端点值间的关系求解实数a的范围；

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=f（x）=lg（$\frac{2}{x+1}$-1）=lg$\frac{1-x}{1+x}$，
所以f（-x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），
所以f（x）为奇函数，
所以f（$\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）=0
（Ⅱ）由$\frac{2}{x+1}$-1＞0，得：-1＜x＜1，所以A=（-1，1），
函数g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的对称轴方程为x=1，
在[0，3]上的最小值为g（3）=a-3，最大值为g（1）=a+1，所以B=[a-3，a+1]．
由A∩B=∅，得：a-3≥1，或a+1≤-1，解得a≤-2，或a≥4，
所以满足A∩B=∅的实数a的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域，解决含有参数的集合关系问题，关键是两集合端点值的大小比较，此题是中档题．