Question

7．已知函数f（x）=x•e^x-1-a（x+lnx），a∈R． 
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x轴，求a的值：
（2）若f（x）的最小值大于0，求证：0＜a＜e．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出a的值即可；
（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，得到?唯一的x₀∈（b，a+1），使得h（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=0，即a=x₀${e}^{{x}_{0}}$，从而求出a的范围，证明结论即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=e^x+x•e^x-a（1+$\frac{1}{x}$），
故f（1）=e-a，f′（1）=2e-2a，
由题意得：e-a=0，且2e-2a=0，解得：a=e
（2）f′（x）=（x+1）（e^x-$\frac{a}{x}$），
令h（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，x∈（0，+∞），
①a≤0时，h（x）=e^x-$\frac{a}{x}$＞0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，
此时函数f（x）无最小值，不合题意；
②a＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，
取实数b，满足0＜b＜min{$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$}，
则e^b＜${e}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{e}$，-$\frac{a}{b}$＜-2，
故h（b）=e^b-$\frac{a}{b}$＜$\sqrt{e}$-2＜0，
又∵h（a+1）=e^a+1-$\frac{a}{a+1}$＞1-$\frac{a}{a+1}$=$\frac{1}{a+1}$＞0，
∴?唯一的x₀∈（b，a+1），使得h（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=0，即a=x₀${e}^{{x}_{0}}$，
x∈（0，x₀）时，h（x）＜h（x₀）=0，此时f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞h（x₀）=0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，
故x=x₀时，f（x）取最小值，
由a=x₀${e}^{{x}_{0}}$两边取对数，得lna=lnx₀+x₀，即lnx₀+x₀=lna，
于是f（x）min=f（x₀）=x₀${•e}^{{x}_{0}}$-a（x₀+lnx₀）=a-alna，
由题意，a-alna＞0，又a＞0，∴1-lna＞0，即a＜e，
综上：0＜a＜e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．