Question

18．在平行四边形ABCD中，|$\overrightarrow{AB}$|=8，|$\overrightarrow{AD}$|=6，N为DC的中点，$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MC}$，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{NM}$=（　　）

• A． 48
• B． 36
• C． 24
• D． 12

Answer 1

分析 先画出图形，根据条件及向量加减法的几何意义即可得出$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}）$，这样进行数量积的运算即可求出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{NM}$的值．

解答 解：如图，

$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}$，∴$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}）$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{NM}=（\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}）•[\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}）]$
=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{4}{9}{\overrightarrow{BC}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（64-16）$
=24．
故选：C．

点评 考查向量数乘的几何意义，相反向量的概念，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算．