Question

3．已知点A，B，C均在球O的表面上，∠BAC=$\frac{2π}{3}，BC=4\sqrt{3}$，球O到平面ABC的距离为3，则球O的表面积为100π．

Answer 1

分析 运用正弦定理可得△ABC的外接圆的直径2r，再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，即可求得球的半径，再由球的表面积公式计算即可得到．

解答 解：由于∠BAC=$\frac{2π}{3}，BC=4\sqrt{3}$，
则△ABC的外接圆的直径2r=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8，
即有r=4，
由于球心O到平面ABC的距离为3，
则由勾股定理可得，球的半径R=5，
即有此球O的表面积为S=4πR²=4π×25=100π．
故答案为100π．

点评 本题考查球的表面积的求法，主要考查球的截面的性质：球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，同时考查正弦定理的运用：求三角形的外接圆的直径，属于中档题．