Question

8．设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在$\hat x∈（a，b）$，使得f（x）在$[a，\hat x]$上单调递增，在$[\hat x，b]$上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，$\hat x$称为峰点，包含峰点的区间称
为含峰区间；
（1）判断下列函数：①f₁（x）=x-2x²，②f₂（x）=|log₂（x+0.5）|，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；
（2）若函数f（x）=ax³+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；
（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．

Answer 1

分析 （1）依次判断各函数在（0，1）上是否存在极大值点即可得出结论；
（2）求出f（x）的极大值点，令极大值点在区间（1，2）上即可；
（3）利用f（x）的单调性得出f（x）的峰点在区间（a，n）上即可．

解答 解：（1）①f₁′（x）=1-4x，令f₁′（x）=0得x=$\frac{1}{4}$，
当0$＜x＜\frac{1}{4}$时，f₁′（x）＞0，当$\frac{1}{4}＜x＜1$时，f₁′（x）＜0，
∴f₁（x）在[0，$\frac{1}{4}$]上单调递增，在[$\frac{1}{4}$，1]上单调递减，
∴f₁（x）是[0，1]上的单峰函数，峰点为$\frac{1}{4}$；
②当x∈[0，1]时，f₂（x）=|log₂（x+0.5）|=$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{2}（x+0.5），0≤x＜0.5}\\{lo{g}_{2}（x+0.5），0.5≤x≤1}\end{array}\right.$．
∴f₂（x）在[0，0.5]上单调递减，在[0.5，1]上单调递增，
∴f₂（x）不是[0，1]上的单峰函数；
（2）f′（x）=3ax²+1，令f′（x）=0得x=±$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$，
当x＜-$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$时，f′（x）＜0，当-$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$时，f′（x）＞0，
当x＞$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$时，f′（x）＜0，
∴x=$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$是f（x）的极大值点，
∵函数f（x）是[1，2]上的单峰函数，
∴1＜$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$＜2，解得：$-\frac{1}{3}＜a＜-\frac{1}{12}$．
（3）证明：∵f（x）是[a，b]上的单峰函数，
∴存在x₀∈（a，b），使得f（x）在（a，x₀）上单调递增，在（x₀，b）上单调递减，
假设n≤x₀，则f（x）在（m，n）上是增函数，
∴f（m）＜f（n），与f（m）≥f（n）矛盾；
∴假设错误，故n＞x₀，
∴f（x）在（a，x₀）上单调递增，在（x₀，n）上单调递减，
∴（a，n）为f（x）的含峰区间．

点评 本题考查了对新定义的理解，函数单调性的判断，属于中档题．