Question

18．已知λ，μ为常数，且为正整数，λ为质数且大于2，无穷数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n，对任意正整数n，2S_n=λa_n-μ，数列{a_n}中任意两不同项的和构成集合A．
（1）证明无穷数列{a_n}为等比数列，并求λ的值；
（2）如果2010∈A，求μ的值；
（3）当n≥1，设集合${B_n}=\{x|5μ•{3^{n-1}}＜x＜5μ•{3^n}，x∈A\}$中元素的个数记为b_n，求b_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=λa_n-μ．当n≥2时，S_n-1=λa_n-1-μ，可得$\frac{λ}{λ-2}=1+\frac{2}{λ-2}$为正整数，即可得出正整数λ．
（2）由（1）可得：S_n=2a_n-μ，可得a_n=μ•2^n-1，因此A={μ（2^i-1+2^j-1）|1≤i＜j，i，j∈N^*}，由于2015∈A，可得2015=μ（2^i-1+2^j-1）=μ•2^i-1（1+2^j-i）=5×13×31，利用2^i-1为偶数时，上式不成立，因此必有2^i-1=1，可得i=1，即可得出j，μ．
（3）当n≥1时，集合集合${B_n}=\{x|5μ•{3^{n-1}}＜x＜5μ•{3^n}，x∈A\}$，即即5μ•3^n-1＜μ（3^i-1+3^j-1）＜5μ•3ⁿ，1≤i＜j，i，j∈N^*B_n中元素的个数，等价于满足5•3ⁿ＜3ⁱ+3^j＜5•3ⁿ⁺¹的不同解（i，j），只有j=n+2才成立，利用5•3ⁿ＜3¹+3ⁿ⁺²＜3²+3ⁿ⁺²＜…＜3ⁿ+3ⁿ⁺²＜3ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²=4•3ⁿ⁺¹＜5•3ⁿ⁺¹，即可得出．（n∈N^*）．

解答 解：（1）当n≥2时，2S_n=λa_n-μ，2S_n-1=λa_n-1-μ，两式相减得：2a_n=λa_n-λa_n-1（λ为质数且大于2），$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{λ}{λ-2}$，所以{a_n}为等比数列，又{a_n}各项均为正整数，则$\frac{λ}{λ-2}=1+\frac{2}{λ-2}$为正整数，λ为质数，则λ=3
（2）由（1）得：2S_n=3a_n-μ，当n=1时，a₁=μ，则${a_n}=μ•{3^{n-1}}$
所以A={μ（3^i-1+3^j-1）|1≤i＜j，i，j∈N^*}
如果2010∈A，则2010=μ（3^i-1+3^j-1）=μ3^i-1（1+3^j-i）=2×3×5×67
因为j-i＞0，则1+3^j-i必为不小于4的偶数，则
因1+3^j-i=2×3时，无解；因1+3^j-i=2×67时，无解；因1+3^j-i=2×3×5，无解；
因1+3^j-i=2×3×67，无解；因1+3^j-i=2×5×67，无解；
因1+3^j-i=2×3×5×67=2010，无解；
当1+3^j-i=2×5⇒j-i=2，μ•3^i-1=201=3×67，
当i-1=1时，μ=67，所以2010=67（3^2-1+3^4-1）∈A
当i-1=0时，μ=201，所以2010=201（3^1-1+3^3-1）∈A
综上，μ=67或μ=201
（3）当n≥1时，${B_n}=\{x|5μ•{3^{n-1}}＜x＜5μ•{3^n}，x∈A\}$
即5μ•3^n-1＜μ（3^i-1+3^j-1）＜5μ•3ⁿ，1≤i＜j，i，j∈N^*B_n中元素的个数，等价于满足5•3ⁿ＜3ⁱ+3^j＜5•3ⁿ⁺¹的不同解（i，j）
如果j＞n+2，则3^j+3ⁱ≥3ⁱ+3ⁿ⁺³=3ⁱ+9•3ⁿ⁺¹＞5•3ⁿ⁺¹，矛盾．
如果j＜n+2，则3^j+3ⁱ≤3ⁱ+3ⁿ⁺¹≤3ⁿ+3ⁿ⁺¹≤4•3ⁿ＜5•3ⁿ，矛盾．
从而，j=n+2
又因为（3¹+3ⁿ⁺²）-5•3ⁿ=3+4•3ⁿ＞0
所以5•3ⁿ＜3¹+3ⁿ⁺²＜3²+3ⁿ⁺²＜…＜3ⁿ+3ⁿ⁺²＜3ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²=4•3ⁿ⁺¹＜5•3ⁿ⁺¹
即i=1，2，…，n，n+1，共n+1个不同的解（i，j），即共n+1个不同x∈B_n，所以${b_n}=n+1（n∈{N^*}）$．

点评 本题考查了等比数列的定义及其通项公式、递推式的应用、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．