Question

17．已知各项为正数的数列{a_n}的前{S_n}，满足$\sqrt{2{S_n}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$
（Ⅰ）求证：{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}满足b_n+1=2b_n，b₂=2，求数列{a_nb_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）把$\sqrt{2{S_n}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$两边同时平方，然后将n换为n-1，两式相减可以得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，结合{a_n}的各项均为正数，可得a_n-a_n-1=4，即{a_n}是以4为公差的等差数列，求出a₁，代入等差数列的通项公式可得a_n=4n-2；
（2）依题意，{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，求出 ${b_n}={2^{n-1}}$，代入c_n=a_nb_n，然后利用错位相减法求数列{a_nb_n}的前n项和为T_n．

解答 （1）证明：把$\sqrt{2{S_n}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$两边同时平方得，${S_n}=\frac{{{{（{a_n}+2）}^2}}}{8}，{S_{n-1}}=\frac{{{{（{a_{n-1}}+2）}^2}}}{8}$（n≥2），
两式相减可以得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
∵{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1-4=0，即a_n-a_n-1=4，
故{a_n}是以4为公差的等差数列．
将n=1代入原式中得a₁=2，
∴a_n=4n-2；
（2）解：依题意，{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
因此 ${b_n}={2^{n-1}}$，
令c_n=a_nb_n，
则T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（2×1-1）2¹+（2×2-1）2²+（2×3-1）2³+…+（2n-1）2ⁿ，
两边同乘以2得，$2{T_n}=（2×1-1）{2^2}+（2×2-1）{2^3}+（2×3-1）{2^4}+…+（2n-1）{2^{n+1}}$，
两式相减得${T_n}=（2n-3）{2^{n+1}}+6$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．