Question

7．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是$\frac{3}{5}$．若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为6．

Answer 1

分析 ①从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率P=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{2}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$．
②由题意可得：ξ的取值为4，5，6，7，8．通过分类讨论，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出分布列，进而得出数学期望．

解答 解：①从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率P=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{2}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$．
②由题意可得：ξ的取值为4，5，6，7，8．
P（ξ=4）=P（2红1黄）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{2}{20}$=$\frac{1}{10}$，P（ξ=5）=P（2红1绿）+P（2黄1红）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$+$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$=$\frac{2}{10}$，P（ξ=6）=P（1红1黄1绿）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{8}{20}$=$\frac{4}{10}$，P（ξ=7）=P（2黄1绿）+P（2绿1红）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$+$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$=$\frac{2}{10}$，P（ξ=8）=P（2绿1黄）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{2}{20}$=$\frac{1}{10}$．
∴

ξ	4	5	6	7	8
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{1}{10}$

E（ξ）=4×$\frac{1}{10}$+5×$\frac{2}{10}$+6×$\frac{4}{10}$+7×$\frac{2}{10}$+8×$\frac{1}{10}$=6．∴
故答案为：$\frac{3}{5}$，6．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．