Question

6．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），右焦点$F（\sqrt{2}，0）$，点$D（\sqrt{2}，1）$在椭圆上；
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据焦点坐标和D点坐标列方程组求出a²，b²即可；
（2）对直线l的斜率进行讨论，使用根与系数的关系计算$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$，根据计算结果是否为0得出结论．

解答 解：（1）由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=2}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得a²=4，b²=2，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）若直线l无斜率，则直线l的方程为x=0，
∴A（0，$\sqrt{2}$），B（0，-$\sqrt{2}$），又F（$\sqrt{2}$，0），
∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=90°，符合题意；
若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消元得（1+2k²）x²=4，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=0，x₁•x₂=-$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{FA}$=（x₁-$\sqrt{2}$，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-$\sqrt{2}$，y₂），
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=（x₁-$\sqrt{2}$）（x₂-$\sqrt{2}$）+y₁y₂=x₁x₂-$\sqrt{2}$（x₁+x₂）+2+y₁y₂
=-$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$+2-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$≠0，
∴$\overrightarrow{FA}$与$\overrightarrow{FB}$不垂直，即∠AFB≠90°．
综上，存在过原点的直线l使得∠AFB=90°，直线l的方程为x=0．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．